Question

已知函數(shù)f（x）=ln|x|（x≠0），函數(shù)g（x）=

1

f′(x)

+af′（x）（x≠0）
（1）當x≠0時，求函數(shù)y=g（x）的表達式；
（2）若a＞0，函數(shù)y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）對x的取值分類討論，化簡絕對值，求出f′（x）得到x＞0和x＜0導函數(shù)相等，代入到g（x）中得到即可．
（2）根據(jù)基本不等式得到g（x）的最小值即可求出a．

解答： 解：（1）∵f（x）=ln|x|，
∴當x＞0時，f（x）=lnx，當x＜0時，f（x）=ln（-x），
∴當x＞0時，f′(x)=

1

x

，當x＜0時，f′(x)=

1

-x

•(-1)=

1

x

，
∴當x≠0時，函數(shù)g（x）=

1

f′(x)

+af′（x）=x+

a

x

．
（2）∵由（1）知當x＞0時，g（x）=x+

x

a

，
∴當a＞0，x＞0時，g（x）≥2

a

，
當且僅當x=

a

時取等號 
∴函數(shù)y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2

a

．
∴依題意得2

a

=2，∴a=1．

點評：考查學生導數(shù)運算的能力，理解函數(shù)最值及幾何意義的能力，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．