Question

函數(shù)滿足f（1）=1，且f（x）在R上的導數(shù)f′（x）＞

1

2

，則不等式f（lnx）-

1

2

lnx＜

1

2

的解集為（　�。�

• A、（0，1）
• B、（0，e）
• C、（1，+∞）
• D、（e，+∞）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)單調性的性質

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：令g（x）=f（x）-

x

2

，證明g（x）在R上的增函數(shù)，不等式f（lnx）-

1

2

lnx＜

1

2

轉化為g（x）＜g（1），即可得出結論．

解答： 解：因為f′（x）＞

1

2

，所以f′（x）-

1

2

＞0，
令g（x）=f（x）-

x

2

，則g（x）在R上的增函數(shù)，
∵不等式f（lnx）-

1

2

lnx＜

1

2

，f（1）=1，
∴f（lnx）-

1

2

lnx＜f（1）-

1

2

，
∴g（x）＜g（1），
∴l(xiāng)nx＜1，
∴0＜x＜e，
∴不等式f（lnx）-

1

2

lnx＜

1

2

的解集為（0，e）．
故選：B．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查解不等式，令g（x）=f（x）-

x

2

，確定g（x）在R上的增函數(shù)是解題的關鍵．