已知分別是橢圓的左、右焦點, 橢圓上.

(Ⅰ)求橢圓標準方程;

(Ⅱ)設(shè)直線、均與橢圓相切,試探究在軸上是否存在定點,的距離之積恒為1?若存在,請求出點坐標;若不存在,請說明理由.

 

【答案】

1;(2滿足題意的定點存在,其坐標為

【解析】

試題分析:本題主要考查橢圓的定義和標準方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系等數(shù)學知識,考查分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問,法一:利用焦點坐標求出,由于點在橢圓上,得到方程,又因為三個參量的關(guān)系得,聯(lián)立,解出,從而得到橢圓的方程;法二:利用橢圓的定義,,利用兩點間的距離公式計算得出的值,從而得到橢圓的方程;第二問,直線與橢圓聯(lián)立,由于它們相切,所以方程只有一個根,所以,同理直線與橢圓聯(lián)立得到表達式,假設(shè)存在點,利用點到直線的距離,列出表達式,將代入整理,使得到的表達式,解出的值,從而得到點坐標.

試題解析:(1)法一:由,, 1

2

橢圓的方程為 4

法二:由,, 1

3

橢圓的方程為 4

(2)的方程代入橢圓方程得 5

直線與橢圓相切,∴,化簡得

同理把的方程代入橢圓方程: 7

設(shè)在軸上存在點,到直線的距離之積為1,

,, 9

代入并去絕對值整理, 或者 10

前式顯然不恒成立;而要使得后式對任意的恒成立 ,解得;

綜上所述,滿足題意的定點存在,其坐標為 12

考點:1.橢圓的標準方程;2.橢圓的定義;3.兩點間的距離公式;4.點到直線的距離公式.

 

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已知分別是橢圓的左、右焦點。
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(1)求橢圓方程;

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