已知點分別是橢圓的左、右焦點, 點在橢圓上上.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)直線若、均與橢圓相切,試探究在軸上是否存在定點,點到的距離之積恒為1?若存在,請求出點坐標;若不存在,請說明理由.
(1);(2)滿足題意的定點存在,其坐標為或
【解析】
試題分析:本題主要考查橢圓的定義和標準方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系等數(shù)學知識,考查分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問,法一:利用焦點坐標求出,由于點在橢圓上,得到方程,又因為三個參量的關(guān)系得,聯(lián)立,解出,從而得到橢圓的方程;法二:利用橢圓的定義,,利用兩點間的距離公式計算得出的值,從而得到橢圓的方程;第二問,直線與橢圓聯(lián)立,由于它們相切,所以方程只有一個根,所以,同理直線與橢圓聯(lián)立得到表達式,假設(shè)存在點,利用點到直線的距離,列出表達式,將代入整理,使得到的表達式,解出的值,從而得到點坐標.
試題解析:(1)法一:由,得, 1分
2分
∴橢圓的方程為 4分
法二:由,得, 1分
3分
∴
∴橢圓的方程為 4分
(2)把的方程代入橢圓方程得 5分
∵直線與橢圓相切,∴,化簡得
同理把的方程代入橢圓方程也得: 7分
設(shè)在軸上存在點,點到直線的距離之積為1,則
,即, 9分
把代入并去絕對值整理, 或者 10分
前式顯然不恒成立;而要使得后式對任意的恒成立 則,解得;
綜上所述,滿足題意的定點存在,其坐標為或 12分
考點:1.橢圓的標準方程;2.橢圓的定義;3.兩點間的距離公式;4.點到直線的距離公式.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(14分)已知、分別是橢圓的左、右焦點,右焦點到上頂點的距離為2,若
(1)求此橢圓的方程;
(2)點是橢圓的右頂點,直線與橢圓交于、兩點(在第一象限內(nèi)),又、是此橢圓上兩點,并且滿足,求證:向量與共線
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科目:高中數(shù)學 來源:2011屆陜西省師大附中、西工大附中高三第六次聯(lián)考理數(shù) 題型:解答題
(本題滿分13分)
已知、分別是橢圓的左、右焦點。
(I)若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點,,求點P的坐標;
(II)設(shè)過定點M(0,2)的直線與橢圓交于不同的兩點A、B,且為銳角(其中為坐標原點),求直線的斜率的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆山東省濟寧市高二3月月考數(shù)學理科試卷(解析版) 題型:選擇題
已知點分別是橢圓的左、右焦點,過且垂直于軸的直線與橢圓交于A、B兩點,若為正三角形,則該橢圓的離心率是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年江西省高三模擬考試理科數(shù)學 題型:解答題
(12分)已知、分別是橢圓的左、右焦點,點B是其上頂點,橢圓的右準線與軸交于點N,且。
(1)求橢圓方程;
(2)直線:與橢圓交于不同的兩點M、Q,若△BMQ是以MQ為底邊的等腰三角形,求的值。
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