Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R，a≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是①求導(dǎo)函數(shù)f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間），在求單調(diào)區(qū)間時(shí)要注意函數(shù)的定義域以及對(duì)參數(shù)a的討論情況；
（II）判斷l(xiāng)nx＜x-1對(duì)一切x∈（1，+∞）成立，進(jìn)而可得證（n≥2，n∈N^*），即可證得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由于，…（2分）
①當(dāng)a＞0時(shí)，易知，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0；
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）；…（4分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，同理可知f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），遞增區(qū)間為（1，+∞）；…（6分）
（Ⅱ）要證成立；
只須證（n≥2，n∈N^*，）
即證lnn＜n-1（n≥2，n∈N^*，）
下面證明此式．
證明：令a=1此時(shí)f（x）=lnx-x-3，所以f（1）=-4，
由（I）知f（x）=lnx-x-3在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)f（x）＜f（1），即lnx-x+1＜0，
∴l(xiāng)nx＜x-1對(duì)一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N^*，則有0＜lnn＜n-1，
故結(jié)論成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)求解證明不等式問題，屬于難題．