Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)y=cos²x+sinxcosx+1,x∈R.
（1）求它的振幅、周期和初相；
（2）用五點法作出它的簡圖；
（3）該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到的？

Answer 1

（1）y=cos²x+sinxcosx+1的振幅為A=,周期為T==π，初相為φ=.
（2）令x₁=2x+，則y=sin(2x+)+=sinx₁+，列出下表，并描出圖象如下圖所示：

x	-
x1	0		π		2π
y=sinx1	0	1	0	-1	0
y=sin(2x+)+

(3)方法一：將函數(shù)圖象依次作如下變換：
函數(shù)y=sinx的圖象函數(shù)y=sin(x+)的圖象
函數(shù)y=sin(2x+)的圖象
函數(shù)y=sin(2x+)的圖象函數(shù)y=sin(2x+)+的圖象,
即得函數(shù)y=cos²x+sinxcosx+1的圖象.
方法二：函數(shù)y=sinx的圖象函數(shù)y=sin2x的圖象函數(shù)y=sin(2x+)的圖象函數(shù)y=sin(2x+)+的
函數(shù)y=sin(2x+)+的圖象,
即得函數(shù)y=cos²x+sinxcosx+1的圖象.

本試題主要是考查了三角函數(shù)的作圖和三角函數(shù)的圖像的變換的綜合運用。
注意五點法作圖的重要性和熟練掌握，同時對于圖像的變換可以先周期再平移，也可以先平移再周期，但是平移的量不同要注意區(qū)別。
解：y=cos²x+sinxcosx+1=cos2x+sin2x+
=sin(2x+)+.
（1）y=cos²x+sinxcosx+1的振幅為A=,周期為T==π，初相為φ=.
（2）令x₁=2x+，則y=sin(2x+)+=sinx₁+，列出下表，并描出圖象如下圖所示：

x	-
x1	0		π		2π
y=sinx1	0	1	0	-1	0
y=sin(2x+)+

(3)方法一：將函數(shù)圖象依次作如下變換：
函數(shù)y=sinx的圖象函數(shù)y=sin(x+)的圖象
函數(shù)y=sin(2x+)的圖象
函數(shù)y=sin(2x+)的圖象函數(shù)y=sin(2x+)+的圖象,
即得函數(shù)y=cos²x+sinxcosx+1的圖象.
方法二：函數(shù)y=sinx的圖象函數(shù)y=sin2x的圖象函數(shù)y=sin(2x+)的圖象函數(shù)y=sin(2x+)+的
函數(shù)y=sin(2x+)+的圖象,
即得函數(shù)y=cos²x+sinxcosx+1的圖象.