Question

若不等式x²-2y²≤cx（y-x）對(duì)任意滿足x＞y＞0的實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：不等式x²-2y²≤cx（y-x）對(duì)任意滿足x＞y＞0的實(shí)數(shù)x、y恒成立，變形為c≤

x2-2y2

xy-x2

，利用換元法，構(gòu)造新函數(shù)通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)f（t）的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：∵不等式x²-2y²≤cx（y-x）對(duì)任意滿足x＞y＞0的實(shí)數(shù)x、y恒成立，
∴c≤

x2-2y2

xy-x2

=

( x y )2-2

x y -( x y )2

，
令

x

y

=t＞1，
∴c≤

t2-2

t-t2

=f（t），
f′（t）=

t2-4t+2

(t-t2)2

=

(t-2+ 2 )(t-2- 2 )

(t-t2)2

，
當(dāng)t＞2+

2

時(shí)，f′（t）＞0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜t＜2+

2

時(shí)，f′（t）＜0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)t=2+

2

時(shí)，f（t）取得最小值，f（2+

2

）=2

2

-4．
∴實(shí)數(shù)c的最大值為2

2

-4．
故答案為：（-∞，2

2

-4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．