Question

已知離心率為

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點M（

6

，1，O是坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點A、B為橢圓C上相異兩點，且

OA

⊥

OB

，判定直線AB與圓O：x²+y²=

8

3

的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由

c a = 2 2 a2=b2+c2 ( 6 )2 a2 + 1 b2 =1

，能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=kx+m，由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

，得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由△=8（8k²-m²+4）＞0，知8k²-m²+4＞0，由韋達定理得：

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1•x2= 2m2-8 1+2k2

，y₁•y₂=（kx₁+m）•（kx₂+m）=

m2-8k2

1+2k2

．由

OA

⊥

OB

得x₁x₂+y₁y₂=0．由圓心到直線的距離d=

|m|

1+k2

，能夠推導(dǎo)出直線AB與圓O相切．

解答：解：（1）由

c a = 2 2 a2=b2+c2 ( 6 )2 a2 + 1 b2 =1

，解得：

a2=8 b2=4 c2=4

，故橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=kx+m，
由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

，得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，（1分）
則△=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0，
由韋達定理得：

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1•x2= 2m2-8 1+2k2

，（1分）
則y₁•y₂=（kx₁+m）•（kx₂+m）
=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

m2-8k2

1+2k2

．
由

OA

⊥

OB

得：
x₁x₂+y₁y₂=0，（1分）
即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，化簡得：3m²-8k²-8=0，（1分）
因為圓心到直線的距離d=

|m|

1+k2

，（1分）
d2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-8 8

=

8

3

，
而r2=

8

3

，∴d²=r²，即d=r．（1分）
此時直線AB與圓O相切
當(dāng)直線AB的斜率不存在時，由

OA

⊥

OB

可以計算得A，B的坐標(biāo)為(

2 6

3

，±

2 6

3

)或(-

2 6

3

，±

2 6

3

)．
此時直線AB的方程為x=±

2 6

3

．
滿足圓心到直線的距離等于半徑，即直線AB與圓O相切．（1分）
綜上，直線AB與圓O相切．（1分）

點評：本題考查橢圓C的方程，判定直線與圓的位置關(guān)系，并證明．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運用橢圓性質(zhì)，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．