Question

若函數(shù)y₁=2sinx（x∈[0，2π））在P處的切線(xiàn)平行于函數(shù)y₂=2

x

（

x

3

+1）在Q處的切線(xiàn)，則直線(xiàn)PQ的斜率為（　�。�

• A、

  8

  3

• B、2
• C、

  7

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：分別設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出兩函數(shù)在P，Q的導(dǎo)數(shù)，由三角函數(shù)的有界性及基本不等式求最值得到使兩切線(xiàn)平行時(shí)的斜率，進(jìn)一步求得P，Q的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)求斜率得答案．

解答： 解：由y₁=2sinx（x∈[0，2π）），得y1′=2cosx，
設(shè)P（x₁，sinx₁），
則y1′|x=x1=2cosx1，
∵x₁∈[0，2π），
∴2cosx₁∈[-2，2]．
由y₂=2

x

（

x

3

+1），得
y2′=(2

x

)′(

x

3

+1)+(2

x

)(

x

3

+1)′=

1

x

(

x

3

+1)+

2

3

x

=

x

+

1

x

．
設(shè)Q（x2，2

x2

(

x2

3

+1)）
則y2′|x=x2=

x2

+

1

x2

≥2．
∵函數(shù)y₁=2sinx（x∈[0，2π））在P處的切線(xiàn)平行于函數(shù)y₂=2

x

（

x

3

+1）在Q處的切線(xiàn)，
∴2cosx₁=2，解得x₁=0，P（0，0）．

x2

+

1

x2

=2，解得：x₂=1，Q（1，

8

3

）．
∴kPQ=

8 3 -0

1-0

=

8

3

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了利用直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線(xiàn)的斜率，是中檔題．