Question

已知橢圓的中心是坐標原點O，它的短軸長為2，右焦點為F，直線l：x=2與x軸相交于點E，，過點F的直線與橢圓相交于A，B兩點，點C和點D在l上，且AD∥BC∥x軸．
（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；
（Ⅱ）求證：直線AC經過線段EF的中點．

Answer 1

【答案】分析：（I）設出橢圓的標準方程，根據短軸長求得b，進而根據 聯立方程組，求得a和c，則橢圓的方程和離心率可得．
（II）根據F和E的坐標，求得N的坐標，當AB⊥x軸時A，B，C的坐標可知，進而求得AC中點的坐標，判斷出AC經過線段EF的中點N；當AB不垂直x軸時，則直線AB斜率存在，設直線AB的方程為y=k（x-1），分別表示出AN和CN的斜率，進而表示出兩斜率之差求得結果為0，可知k₁=k₂且AN，CN有公共點N，進而可知A，C，N三點共線．推斷出直線AC經過線段EF的中點N．最后綜合可得結論．
解答：解：（I）設橢圓方程為：．
由2b=2得b=1．
又 ，∴解得 ．
∴橢圓方程為：．
離心率 ．
（II）∵點F（1，0），E（2，0），∴EF中點N的坐標為 ．
①當AB⊥x軸時，A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁），
那么此時AC的中點為 ，即AC經過線段EF的中點N．
2當AB不垂直x軸時，則直線AB斜率存在，
設直線AB的方程為y=k（x-1），
由（*）式得 ．
又∵x₁²=2-2y₁²＜2，得 ，
故直線AN，CN的斜率分別為 ，
∴．
又∵（x₁-1）-（x₂-1）（2x₁-3）=3（x₁+x₂）-2x₁x₂-4，
=．
∴k₁-k₂=0，即k₁=k₂．
且AN，CN有公共點N，∴A，C，N三點共線．
∴直線AC經過線段EF的中點N．
綜上所述，直線AC經過線段EF的中點．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程．涉及了直線與橢圓的關系，在設直線方程的時候，一定要考慮斜率不存在時的情況，以免答案不全面．