Question

已知橢圓E的方程為

x2

tanα

+

y2

tan2+1

=1，其中α∈（0，

π

2

）．
（Ⅰ）求橢圓E形狀最圓時的方程；
（Ⅱ）若橢圓E最圓時任意兩條互相垂直的切線相交于點P，證明：點P在一個定圓上．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題設條件推導出tanα＞0，橢圓E的長軸在y軸上．由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設交點P（x0 ，y₀），過交點P的直線l與橢圓x2+

y2

2

=1相切．設直線l：y=k（x-x₀）+y₀，與橢圓方程聯(lián)立得：（2+k²）x²+2k（y₀-kx₀）x+（y₀-kx₀）²-2=0．由此利用要根的判別式和相切的性質能求出點P在一個定圓上．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓E的方程為

x2

tanα

+

y2

tan2+1

=1，其中α∈（0，

π

2

）．
∴tanα＞0，且tan²α+1＞tanα，
故橢圓E的長軸在y軸上．
e=

1- tanα tan2α+1

=

1- 1 2 sin2α

≥

1- 1 2

=

2

2

，
當且僅當α=

π

4

時取等號．
由于橢圓E的離心率e最小時其形狀最圓，
故最圓的橢圓方程為x²+

y2

2

=1．…（5分）
（Ⅱ）證明：設交點P（x0 ，y₀），過交點P的直線l與橢圓x2+

y2

2

=1相切．
（1）當斜率不存在或等于零時，P點的坐標為P（±1，±

2

）．…（6分）
（2）當斜率存在且非零時，則x₀≠±1，
設斜率為k，則直線l：y=k（x-x₀）+y₀，
與橢圓方程聯(lián)立消y，得：（2+k²）x²+2k（y₀-kx₀）x+（y₀-kx₀）²-2=0．
由相切，△=[2k(y0-kx0)]2-4（2+k²）[(kx0-y0)2-2]=0，
化簡整理得(1-x02 )k2+2x0y0k+2-y02=0．①
因過橢圓外一點有兩條直線與橢圓相切，由已知兩切線垂直，
故k₁k₂=-1，而k₁，k₂為方程①的兩根，
故

2-y02

1-x02

=-1，整理得：x02+y02=3．
又（±1，±

2

）也滿足上式，
∴P點的軌跡方程為x²+y²=3，即P點在定圓x²+y²=3上．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點在定圓上的證明，解題時要認真審題，注意等價轉化思想和函數(shù)方程思想的合理運用．