三棱錐S-ABC中,底面△ABC是頂角∠ABC=a AC=a的等腰三角形,∠SCA=SC=b,側(cè)面SAC與底面ABC所成二面角為q 0q ,DE分別為SAAC的中點(diǎn).

  (1)求證:無論q、a為何值,點(diǎn)S到截面BDE的距離為定值;

 

  (2)求三棱錐S-ABC的體積

 

答案:
解析:

(1)證明:連結(jié)BD、BE,如圖所示

  ∵ D、ESA、AC中點(diǎn)

  ∴ SCDE,∴ SC∥平面BDE

  ∴ S到面BDE的距離即C到平面BDE的距離

  ∵ ∠SCA=90°,∴ DEAC

  ∵ AB=BC,∴ BEAC

  ∴ AC⊥平面BDE

  ∴ C到面BDE距離即為CE=,與q、a 無關(guān)

  ∴ 命題成立

  (2)解:∵ DSA的中點(diǎn),EAC的中點(diǎn)

  ∴ SAED=SSAC

  ∴ VS-ABC=VB-SAC=4VB-AED

  而VB-AED=VA-BDE=·SBDE·AE

  由DEAC,BEAC,∠DEB為二面角S-AC-B平面角

  ∴ ∠DEB=q

  ∴ SBDE=BE·DEsinq

       =

      

  ∴ VS-ABC

      

 


提示:

本題第一問的證明通過求出S到面BDE距離與q、a無關(guān)而證到.一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)平面的距離可轉(zhuǎn)化為其他點(diǎn)到這個(gè)平面的距離,除了本解法中轉(zhuǎn)化為這個(gè)點(diǎn)所在的平面的平行線上的點(diǎn)到平面的距離外,還可以轉(zhuǎn)化為過這個(gè)點(diǎn)和平面相垂直的直線上一些點(diǎn)到平面的距離,求體積時(shí)注意運(yùn)用割補(bǔ)法,求三棱錐體積時(shí)要靈活選擇底面,盡量使最終求體積的多面體的高、底面面積好求,尤其是高好求.

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖在三棱錐S-ABC中∠ACB=90°,SA⊥面ABC,AC=2,BC=
13
,SB=
29

(1)證明SC⊥BC.
(2)求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,SC⊥平面ABC,點(diǎn)P、M分別是SC和SB的中點(diǎn),設(shè)PM=AC=1,∠ACB=90°,直線AM與直線SC所成的角為60°.
(1)求證:平面MAP⊥平面SAC.
(2)求二面角M-AC-B的平面角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2
3
,M,N分別為AB,SB的中點(diǎn).
(1)證明:AC⊥SB;
(2)求二面角N-CM-B的大;
(3)求點(diǎn)B到平面CMN的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為8的正三角形,SA=SC=2
7
,二面角S-AC-B的大小為60°
(1)求證:AC⊥SB;
(2)求三棱錐S-ABC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐S-ABC中,平面SBC⊥平面ABC,SB=SC=AB=2,BC=2
2
,∠BAC=90°,O為BC中點(diǎn).
(Ⅰ)求點(diǎn)B到平面SAC的距離;
(Ⅱ)求二面角A-SC-B的余弦值.

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