Question

三棱錐S-ABC中，底面△ABC是頂角∠ABC=a ，AC=a的等腰三角形，∠SCA=，SC=b，側(cè)面SAC與底面ABC所成二面角為q 0＜q ≤，D、E分別為SA和AC的中點(diǎn)．

　　(1)求證：無論q、a為何值，點(diǎn)S到截面BDE的距離為定值；

 

　　(2)求三棱錐S-ABC的體積

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：連結(jié)BD、BE，如圖所示 　　∵　D、E為SA、AC中點(diǎn) 　　∴　SC∥DE，∴　SC∥平面BDE 　　∴　S到面BDE的距離即C到平面BDE的距離 　　∵　∠SCA=90°，∴　DE⊥AC 　　∵　AB=BC，∴　BE⊥AC 　　∴　AC⊥平面BDE 　　∴　C到面BDE距離即為CE=，與q、a 無關(guān) 　　∴　命題成立 　　(2)解：∵　D為SA的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn) 　　∴　S△AED=S△SAC 　　∴　VS-ABC=VB-SAC=4VB-AED 　　而VB-AED=VA-BDE=·S△BDE·AE 　　由DE⊥AC，BE⊥AC，∠DEB為二面角S-AC-B平面角 　　∴　∠DEB=q 　　∴　S△BDE=BE·DEsinq 　　　　　　 = 　　　　　　 　　∴　VS-ABC

提示：

本題第一問的證明通過求出S到面BDE距離與q、a無關(guān)而證到．一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)平面的距離可轉(zhuǎn)化為其他點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，除了本解法中轉(zhuǎn)化為這個(gè)點(diǎn)所在的平面的平行線上的點(diǎn)到平面的距離外，還可以轉(zhuǎn)化為過這個(gè)點(diǎn)和平面相垂直的直線上一些點(diǎn)到平面的距離，求體積時(shí)注意運(yùn)用割補(bǔ)法，求三棱錐體積時(shí)要靈活選擇底面，盡量使最終求體積的多面體的高、底面面積好求，尤其是高好求．