Question

己知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²+a_n+1a_n-2a_n²=0（n∈N^*），且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若b_n=a_nlog

1

2

a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列是一個各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，把這個式子分解，變?yōu)閮蓚�因式乘積的形式，（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，注意數(shù)列是一個正項(xiàng)數(shù)列，得到a_n+1-2a_n=0，得到數(shù)列是一個等比數(shù)列，寫出通項(xiàng)．
（Ⅱ）本題構(gòu)造了一個新數(shù)列，要求新數(shù)列的和，注意觀察數(shù)列是有一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列乘積組成，需要用錯位相減來求和，兩邊同乘以2，得到結(jié)果后觀察S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-2a_n=0，
即a_n+1=2a_n，所以數(shù)列{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，
∴a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，
∴a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及b_n=anlog

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2

an得，b_n=-n•2ⁿ，
∵S_n=b₁+b₂++b_n，
∴S_n=-2-2•2²-3•2³-4•2⁴--n•2ⁿ①
∴2S_n=-2²-2•2³-3•2⁴-4•2⁵--（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹②
①-②得，S_n=2+2²+2³+2⁴+2⁵++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2，
要使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立，只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，即2ⁿ⁺¹＞52，
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值為5．

點(diǎn)評：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位．高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏．