Question

已知雙曲線的右頂點為A，右焦點為F，右準線與軸交于點B，且與一條漸近線交于點C，點O為坐標原點，又|OA|=2|OB|，過點F的直線與雙曲線右支交于點M、N，點P為點M關于軸的對稱點．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）證明：B、P、N三點共線．

Answer 1

解：（Ⅰ）A（a，0），B
由
由，
∴
解（1）（2）得a=2，c=4
雙曲線方程為
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
B（1，0），F(xiàn)（4，0）
設直線l的方程為x=ty+4

設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則
∴（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=
所以向量與共線，
即B、P、N三點共線．
分析：（Ⅰ）根據(jù)已知線，表示出A，B的坐標．根據(jù)以及，聯(lián)立求出a與c的值，然后寫出雙曲線的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得出B，F(xiàn)的坐標，然后設出直線方程．將直線方程代入雙曲線方程，設出兩個交點的坐標，用設而不求韋達定理方法求出y¹+y²，y¹•y²的值，此時即可表示出，最后根據(jù)向量共線的定義即可判定B、P、N三點共線．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，以及雙曲線的方程．根據(jù)以及，聯(lián)立求出a與c的值是關鍵．第二問在第一問的基礎上運用設而不求韋達定理方法求出y¹+y²，y¹•y²的值．屬于中檔題．