Question

設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

a，(x=1) ( 1 2 )|x-1|+1，(x≠1)

，若關(guān)于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則符合題意的a的取值范圍是

1＜a＜

3

2

或

3

2

＜a＜2．

．

Answer 1

分析：程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x，即要求f（x）=常數(shù)有3個(gè)不同的f（x），根據(jù)題意，先做出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合圖象可知，只有當(dāng)f（x）=a時(shí)，有3個(gè)根，再結(jié)合方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，可求

解答：解：方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
解：∵題中原方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有且只有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
∴即要求對(duì)應(yīng)于f（x）等于某個(gè)常數(shù)有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
∴故先根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖：
由圖可知，只有當(dāng)f（x）=a時(shí)，它有三個(gè)根．
所以有：1＜a＜2 ①．
再根據(jù)2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有兩個(gè)不等實(shí)根，
得：△=（2a+3）²-4×2×3a＞0⇒a≠

3

2

②
結(jié)合①②得：1＜a＜

3

2

或

3

2

＜a＜2．
故答案為：1＜a＜

3

2

或

3

2

＜a＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與一元二次方程根的分布的知識(shí)，采用數(shù)形結(jié)合的方法解決．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)．