Question

甲、乙兩人進行乒乓球比賽，在每一局比賽中，甲獲勝的概率為P（0＜P＜1）．
（1）如果甲、乙兩人共比賽4局，甲恰好負(fù)2局的概率不大于其恰好勝3局的概率，試求P的取值范圍；
（2）若P=

1

3

，當(dāng)采用5局3勝的比賽規(guī)則時，求比賽局?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）甲恰好負(fù)2局的概率不大于其恰好勝3局的概率，根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式和互斥事件的概率公式，列出不等式，得到結(jié)果．
（2）比賽結(jié)束時比賽的局?jǐn)?shù)為ξ，則ξ的可能取值是3、4、5，當(dāng)X=3時，乙獲得比賽勝利，當(dāng)X=4時，甲和乙都有可能勝利，包括甲第2、3、4局都勝，或是乙，第2、3局勝一局，第4局一定勝．最后列出比賽局?jǐn)?shù)的分布列和算出數(shù)學(xué)期望．

解答：解：設(shè)每一局比賽甲獲勝的概率為事件A，則0＜P（A）＜1
（1）由題意知C₄²P²（1-P）²≤C₄³P³（1-P）（2分）
即

3

5

≤p＜1（4分）
（2）設(shè)比賽局?jǐn)?shù)為隨機變量ξ，ξ=3，4，5．
P（ξ=3）=(

1

3

)3+(

2

3

)2=

8

27

，…，列表如下：

ξ	3	4	5
P	9 27	10 27	8 27

Eξ=3*

9

27

+4*

10

27

+5*

8

27

=

107

27

．

點評：本小題主要考查古典概型及其概率計算，考查取有限個值的離散型隨機變量及其分布列和均值的概念，通過設(shè)置密切貼近現(xiàn)實生活的情境，考查概率思想的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識．