Question

已知點(diǎn)P（-1，-1）在曲線y=

x

x+a

上，曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為k，則

∫

1 0

(

1

x+1

+kx)dx=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件求出a，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，然后根據(jù)積分公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵點(diǎn)P（-1，-1）在曲線y=

x

x+a

上，
∴

-1

a-1

=-1，即a-1=1，
則a=2，即曲線y=

x

x+a

=

x

x+2

，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

2

(x+2)2

，
則曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為k=

2

(-1+2)2

=2，
即k=2，
則

∫

1 0

(

1

x+1

+kx)dx═

∫

1 0

(

1

x+1

+2x)dx=（ln（x+1）+x²）|

1 0

=1+ln2，
故答案為：1+ln2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)積分的計(jì)算，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．