Question

如圖所示，直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．
（Ⅰ）若P是A₁B₁的中點(diǎn)，求證：DP∥平面ACB₁平行；
（Ⅱ）求證：平面ACC₁A₁⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由P為A₁B₁的中點(diǎn)，知PB₁∥AB，且PB₁=

1

2

AB，證明DCB₁P為平行四邊形，從而CB₁∥DP，即可證明DP∥平面ACB₁平行；
（Ⅱ）直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由BB₁⊥平面ABCD，知BB₁⊥AC，有∠BAD=∠ADC=90°，知AB=2AD=2CD=2，由此能夠證明AC⊥平面BB₁C₁C，即可證明平面ACC₁A₁⊥平面BB₁C₁C．

解答： 證明：（Ⅰ）由P為A₁B₁的中點(diǎn)，知PB₁∥AB，且PB₁=

1

2

AB，
∵DC∥AB，DC=

1

2

AB，
∴DC∥PB₁，且DC=PB₁，
∴DCB₁P為平行四邊形，從而CB₁∥DP，
∵CB₁?面ACB₁，DP?面ACB₁，
∴DP∥面ACB₁．
（Ⅱ）直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AC，
∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，
∴AC=

2

，∴BC=

2

，∴BC⊥AC，
∴AC⊥平面BB₁C₁C，
又AC?平面ACC₁A₁，
∴平面ACC₁A₁⊥平面BB₁C₁C．                               …（13分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明和直線與平面平行的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間問題為平面問題．