
分析:由A和B為三角形的內角,得到sinA和sinB都大于0,進而確定出C為鈍角,利用誘導公式及三角形的內角和定理化簡已知等式的左邊,得到sinB=-3sinAcosC,再由sinB=sin(A+C),利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡,再利用同角三角函數(shù)間的基本關系化簡,得到tanC=-4tanA,將tanB利用誘導公式及三角形的內角和定理化簡為-tan(A+C),利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡,將tanC=-4tanA代入,變形后利用基本不等式求出tanB的范圍,即可得到tanB的最大值.
解答:∵sinA>0,sinB>0,
∴

=-3cosC>0,即cosC<0,
∴C為鈍角,sinB=-3sinAcosC,
又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∴sinAcosC+cosAsinC=-3sinAcosC,即cosAsinC=-4sinAcosC,
∴tanC=-4tanA,
∴tanB=-tan(A+C)=-

=-

=

≤

,
當且僅當

,即tanA=

時取等號,
則tanB的最大值為

.
故答案為:

.
點評:此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關系,兩角和與差的正弦、正切函數(shù)公式,以及基本不等式的運用,熟練掌握基本關系及公式是解本題的關鍵.