Question

如圖所示，已知一次函數(shù)y=kx+b（b＞0）與二次函數(shù)y=

1

2

x2的圖象相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，其中x₂＞0且x₁x₂=-1，點(diǎn)F(0，b)，

AF

=t

FB

．
（1）求

OA

•

OB

的值
（2）當(dāng)t=

3

2

時(shí)，求以原點(diǎn)為中心，F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)B的橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）由直線y=kx+b與拋物線y=

1

2

x2聯(lián)解，消去y得x²-2kx-2b=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系算出x₁x₂=-2b=-1，解得b=

1

2

．由此可得y₁y₂=

1

4

x12x22=

1

4

，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，即可算出

OA

•

OB

的值；
（2）求出

AF

、

FB

的坐標(biāo)，根據(jù)

AF

=t

FB

得t=-

x1

x2

=

1

x22

，結(jié)合t=

3

2

算出x₂²=

2

3

，從而得到B（

2 3

，

1

3

），再由點(diǎn)F（0，

1

2

）為所求橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

a2- 1 4

=1，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解出a²=1，即可得到所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）由

y=kx+b y= 1 2 x2

消去y，得x²-2kx-2b=0．
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b=-1，解得b=

1

2

．
因此，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+

1

2

x12•

1

2

x22=-2b+

1

4

（-2b）²=-1+

1

4

=-

3

4

；
（2）∵

AF

=t

FB

，

AF

=（-x₁，b-y₁），

FB

=（x₂，y₂-b），
∴-x₁=tx₂，得t=-

x1

x2

=-

x1x2

x22

=

1

x22

，
由此可得x₂²=

1

t

，結(jié)合t=

3

2

得x₂²=

1

t

=

2

3

，
∵x₂＞0，∴x₂=

2 3

，y₂=

1

2

x₂²=

1

3

，可得B（

2 3

，

1

3

）
∵點(diǎn)F（0，b）即F（0，

1

2

），是橢圓的焦點(diǎn)．
∴以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓方程為

y2

a2

+

x2

a2- 1 4

=1（a＞

1

2

）
∵點(diǎn)B（

2 3

，

1

3

）在橢圓上，∴

1 9

a2

+

2 3

a2- 1 4

=1，解之得a²=1（a²=

1

36

舍去）．
因此，以原點(diǎn)為中心、為一個(gè)焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)B的橢圓方程為y2+

4x2

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了向量的數(shù)量積、向量的線性運(yùn)算性質(zhì)、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，屬于中檔題．