Question

已知

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx，sinx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的對稱軸方程；
（2）若對任意實數(shù)x∈[

π

6

，

π

3

]，不等式f（x）-m＜2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，通過正弦函數(shù)的對稱軸直接求f（x）的對稱軸方程；
（2）利用（1）的函數(shù)的解析式，對任意實數(shù)x∈[

π

6

，

π

3

]，不等式f（x）-m＜2恒成立，求出f（x）-2在已知范圍難度最大值，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）由f（x）=

a

•

b

及

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx，sinx），可得
  f（x）=sin²x+sinxcosx                                             …（2分）
=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x                                            …（3分）
=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

                                            …（4分）
令2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，解得x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z．…（5分）
所以，f（x）的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z．…（6分）
（2）∵x∈[

π

6

，

π

3

]，∴

π

12

≤2x-

π

4

≤

5π

12

．…（7分）
又∵y=sinx在[0，

π

2

]上是增函數(shù)，
∴sin

π

12

≤sin(2x-

π

4

)≤sin

5π

12

．…（8分）
又∵sin

5π

12

=sin（

2π

3

-

π

4

）=sin

2π

3

cos

π

4

-cos

2π

3

sin

π

4

=

3

2

×

2

2

+

1

2

×

2

2

=

2 + 6

4

，…（9分）
∴f（x）在x∈[

π

6

，

π

3

]，時的最大值是f_max（x）=

2

2

×

2 + 6

4

+

1

2

=

3+ 3

4

．…（11分）
∵不等式f（x）-m＜2恒成立，即f（x）-2＜m恒成立，…（12分）
∴

3+ 3

4

-2＜m，即m＞

3 -5

4

，
所以，實數(shù)m的取值范圍是(

3 -5

4

，+∞)．…（14分）

點評：本題考查向量的數(shù)量積的計算．兩角和與差的三角函數(shù)正弦函數(shù)的對稱軸方程以及單調(diào)性的應用，考查計算能力．