Question

【題目】已知動點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之和為.

(1)求動點(diǎn)軌跡的方程；

(2)設(shè)，過點(diǎn)作直線，交橢圓于不同于的兩點(diǎn)，直線， 的斜率分別為， ，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明過程詳見解析.

【解析】試題分析：本題考查橢圓的基本量間的關(guān)系及韋達(dá)定理的應(yīng)用.第一問是考查橢圓的基本量間的關(guān)系，比較簡單；第二問是直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，先設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，本題的突破口是在消參后的方程中找出兩根之和、兩根之積，整理斜率的表達(dá)式，但是在本問中需考慮直線的斜率是否存在，此題中蘊(yùn)含了分類討論的思想的應(yīng)用.

試題解析：（Ⅰ）由橢圓定義，可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為長軸長的橢圓．

由，得．故曲線的方程為． 5分

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，

由，得． 7分

設(shè)， ， ， ．

從而． 11分

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，得，

得．

綜上，恒有． 12分