Question

在△ABC中，AH為BC邊上的高，tan

C

2

=

1

2

，則過點C，以A，H為焦點的雙曲線的離心率為

2

．

Answer 1

分析：先利用二倍角公式由tan

C

2

=

1

2

，得tanC=

AH

CH

=

4

3

，再設(shè)AH=4a，CH=3a，則AC=5a，最后利用雙曲線定義知離心率為

AH

AC-CH

，代入計算即可

解答：解：如圖所示，由tan

C

2

=

1

2

，得tanC=

2tan C 2

1-tan2 C 2

=

4

3

．
由題可知AH⊥BC，以A，H為焦點的雙曲線的離心率e=

AH

AC-CH

．
∵△AHC為直角三角形，且tanC=

AH

CH

=

4

3

，
∴可設(shè)AH=4a，CH=3a，則AC=5a，所以離心率e=

AH

AC-CH

=

4a

5a-3a

=2．
故答案為 2

點評：本題考察了雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，離心率的意義和求法，二倍角公式的運用．