設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)設(shè)x1,x2>0,p1,p2>0,且p1+p2=1,證明:p1f(x1)+p2f(x2)≥f(p1x1+p1x1);
(Ⅲ)設(shè)x1,x2,…,xn>0,p1,p2,…,pn>0,且p1+p2+…+pn=1,如果p1x1+p2x2+…+pnxn≥e,證明:p1f(x1)+p2f(x2)+…+pnf(xn)≥e.
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用
專題:證明題,綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)最小值;
(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=p1f(x1)+p2f(x)-f(p1x1+p2x),不妨設(shè)x1≤x≤x2,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),結(jié)合已知條件判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),進(jìn)一步得到原函數(shù)的單調(diào)性,從而征得答案;
(Ⅲ)首先利用數(shù)學(xué)歸納法求證p1f(x1)+p2f(x2)+…+pnf(xn)≥f(p1x1+p2x2+…+pnxn),然后結(jié)合(Ⅰ)中函數(shù)的單調(diào)性得答案.
解答: (Ⅰ)解:∵f(x)=xlnx,∴f′(x)=1+inx,
由f′(x)>0,得x>
1
e
,由f′(x)<0,得0<x<
1
e

∴f(x)在(0,
1
e
)
上單調(diào)遞減;在(
1
e
,+∞)
上單調(diào)遞增.
∴f(x)在x=
1
e
時(shí)取得最小值f(
1
e
)=-
1
e
;
(Ⅱ)證明:令g(x)=p1f(x1)+p2f(x)-f(p1x1+p2x),不妨設(shè)x1≤x≤x2,
g(x)=p2f(x)-p2f(p1x1+p2x),
∵p1+p2=1,∴p1x1+p2x-x=p1x1-p1x≤0,
∴p1x1+p2x≤x,
而f′(x)=1+lnx是增函數(shù),∴f′(x)≥f′(p1x1+p2x).
g(x)=p2f(x)-p2f(p1x1+p2x)≥0,∴g(x)在[x1,x2]上是增函數(shù).
∴g(x2)≥g(x1)=0,即p1f(x1)+p2f(x2)-f(p1x1+p2x2)≥0.
∴p1f(x1)+p2f(x2)≥f(p1x1+p1x1);
(Ⅲ)證明:先證明p1f(x1)+p2f(x2)+…+pnf(xn)≥f(p1x1+p2x2+…+pnxn).
當(dāng)n=2時(shí),由(Ⅱ)知不等式成立.
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,即
p1f(x1)+p2f(x2)+…+pkf(xk)≥f(p1x1+p2x2+…+pkxk).
當(dāng)n=k+1時(shí),
f(p1x1+p2x2+…+pkxk+pk+1xk+1)=f[(1-pk+1)•
p1x1+p2x2+…+pkxk
1-pk+1
+pk+1xk+1]

(1-pk+1)f(
p1x1+p2x2+…+pkxk
1-pk+1
)+pk+1f(xk+1)

(1-pk+1)[
p1
1-pk+1
f(x1)+
p2
1-pk+1
f(x2)+…+
pk+1
1-pk+1
f(xk+1)]+pk+1f(xk+1)

=p1f(x1)+p2f(x2)+…+pk+1f(xk+1)+pk+1f(xk+1).
∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立,
∴p1f(x1)+p2f(x2)+…+pnf(xn)≥f(p1x1+p2x2+…+pnxn).
由(Ⅰ)f(x)在(
1
e
,+∞)上單調(diào)遞增,因此f(x)在(e,+∞)上也單調(diào)遞增.
∵p1x1+p2x2+…+pnxn≥e,
∴f(p1x1+p2x2+…+pnxn)≥f(e)=e.
∴p1f(x1)+p2f(x2)+…+pnf(xn)≥e.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用,訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式,關(guān)鍵是結(jié)合題意構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,是難度較大的題目.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

由0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且個(gè)位上的數(shù)字不能為1的3位數(shù)共有(  )
A、28個(gè)B、36個(gè)
C、39個(gè)D、42個(gè)

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已知直線2x-y+6=0過(guò)雙曲線C:
x2
m
-
y2
8
=1(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn),則雙曲線的離心率為(  )
A、
2
B、2
C、3
D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(t)=
1-t
1+t
,g(x)=cosx•f(sinx)+sinx•f(cosx),x∈(
π
2
,π).
(1)將函數(shù)g(x)化簡(jiǎn)成Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[-π,π])的形式;
(2)若g(x0)=
4
2
5
,且x0∈(
π
2
,
4
),求g(x0+
π
4
)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

一只箱中原來(lái)有若干個(gè)大小相同的球,其中3個(gè)紅球,m個(gè)白球,現(xiàn)規(guī)定:進(jìn)行一次操作是指“從箱中隨機(jī)取一個(gè)球,如果取出的是紅球,則把它放回箱中;若取出是白球,則該球不放回,并另補(bǔ)一個(gè)紅球放到箱中”.若進(jìn)行第二次操作后,箱中紅球個(gè)數(shù)為4的概率為
14
25

(1)求m的值;
(2)進(jìn)行第二次操作后,求箱中紅球個(gè)數(shù)x的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某電視臺(tái)舉辦“青工技能大賽”,比賽共設(shè)三關(guān),第一、二關(guān)各有兩個(gè)問(wèn)題,兩個(gè)問(wèn)題全解決方可進(jìn)入下一關(guān),第三關(guān)有三個(gè)問(wèn)題,只要解決其中的兩個(gè)問(wèn)題,則闖關(guān)成功.每過(guò)一關(guān)可依次獲得100分、300分、500分的積分.小明對(duì)三關(guān)中每個(gè)問(wèn)題正確解決的概率依次為
4
5
3
4
、
2
3
,且每個(gè)問(wèn)題正確解決與否相互獨(dú)立.
(Ⅰ)求小明通過(guò)第一關(guān)但未過(guò)第二關(guān)的概率;
(Ⅱ)用X表示小明的最后積分,求X的分布列和期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A且B≠∅,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

汽車是碳排放量比較大的行業(yè)之一,某地規(guī)定,從2014年開(kāi)始,將對(duì)二氧化碳排放量超過(guò)130g/km的輕型汽車進(jìn)行懲罰性征稅.檢測(cè)單位對(duì)甲、乙兩品牌輕型汽車各抽取5輛進(jìn)行二氧化碳排放量檢測(cè),記錄如下(單位:g/km).
80110120140150
100120x100160
經(jīng)測(cè)算得乙品牌輕型汽車二氧化碳排放量的平均值為
.
x
=120g/km.
(1)從被檢測(cè)的5輛甲品牌輕型汽車中任取2輛,則至少有一輛二氧化碳排放量超過(guò)130g/km的概率是多少?
(2)求表中x的值,并比較甲、乙兩品牌輕型汽車二氧化碳排放量的穩(wěn)定性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知sina+sinb=
2
2
,求cosa+cosb的取值范圍.

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