Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b），點(diǎn)A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（Ⅰ）若a=0，b=3，函數(shù)f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，求t的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，

f(x)

x

+lnx+1≥0對(duì)任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，求b的取值范圍；
（Ⅲ）若0＜a＜b，函數(shù)f（x）在x=s和x=t處取得極值，且a+b＜2

3

，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，探究直線(xiàn)OA與直線(xiàn)OB能否垂直，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）直接求導(dǎo)得f'（x）=3x²-6x，令f'（x）=0即可確定極值點(diǎn)，解不等式t＜0且t+3＞2即可求解t的取值范圍；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)

f(x)

x

+lnx+1≥0得b≤x+

lnx

x

+

1

x

，然后求函數(shù)g(x)=x+

lnx

x

+

1

x

在x∈[

1

2

，+∞)的最小值，即可確定b的取值范圍；
（Ⅲ）假設(shè)直線(xiàn)OA與直線(xiàn)OB垂直，運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算建立s，t的方程，根據(jù)極值的性質(zhì)可知s，t是方程f'（x）=0的兩個(gè)根，從而確定a+b的值，得出與已知的矛盾，推翻假設(shè)．得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）當(dāng)a=0，b=3時(shí)，
f（x）=x³-3x²，f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）=0得，x=0或x=2．
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可知，
函數(shù)f（x）在x=0處取得極大值，在x=2處取得極小值．
∵函數(shù)f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，
∴t＜0且t+3＞2，
即-1＜t＜0．
∴t的取值范圍是（-1，0）．    
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，

f(x)

x

+lnx+1≥0對(duì)任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，
即x²-bx+lnx+1≥0對(duì)任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，
即b≤x+

lnx

x

+

1

x

在對(duì)任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立．
令g(x)=x+

lnx

x

+

1

x

，
則g′(x)=1+

1-lnx

x2

-

1

x2

=

x2-lnx

x2

． 
記m（x）=x²-lnx，
則m′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，
則這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有唯一的極小值點(diǎn)x=

2

2

，
并且也是最小值點(diǎn)，
∴m(x)≥m(

2

2

)=

1

2

-ln

2

2

＞0，
從而g'（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增．
函數(shù)g(x)min=g(

1

2

)=

5

2

-2ln2．
故只要b≤

5

2

-2ln2即可．
∴b的取值范圍是(-∞，

5

2

-2ln2]．
（Ⅲ）假設(shè)

OA

⊥

OB

，即

OA

•

OB

=0，
即（s，f（s））•（t，f（t））=st+f（s）f（t）=0，
故（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1．
即[st-（s+t）a+a²][st-（s+t）b+b²]=-1．
由于s，t是方程f'（x）=0的兩個(gè)根，
故s+t=

2

3

(a+b)，st=

ab

3

，0＜a＜b．
代入上式得ab（a-b）²=9．
(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥2

36

=12，
即a+b≥2

3

，與a+b＜2

3

矛盾，
∴直線(xiàn)OA與直線(xiàn)OB不可能垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)和坐標(biāo)運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)與極值最值的關(guān)系，恒成立問(wèn)題的解決技巧等知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于難題．