Question

【題目】已知 =（ sinx，2）， =（2cosx，cos2x），函數f（x）= ，
（1）求函數f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C和邊a，b，c滿足a=2，f（A）=2，sinB=2sinC，求邊c．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =（ sinx，2）， =（2cosx，cos2x），

∴f（x）= =2 sinxcosx+2cos2x= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1，

∵﹣1≤sin（2x+ ）≤1，

∴﹣1≤2sin（2x+ ）+1≤3，

∴函數f（x）的值域為[﹣1，3]

（2）解：∵f（A）=2，

∴2sin（2A+ ）+1=2，

∴sin（2A+ ）=

∴2A+ =2kπ+ ，或2A+ =2kπ+ ，k∈Z，

∴A=kπ，（舍去），A=kπ+ ，k∈Z，

∵0＜A＜π，

∴A= ，

∵sinB=2sinC，由正弦定理可得b=2c，

∵a=2，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，

∴3c2=4，

解得c= ．

【解析】（1）根據向量的坐標運算以及二倍角公式，化簡求出f（x），根據三角函數的性質求出值域；（2）先求出A的大小，再根據正弦余弦定理即可求出．