Question

遞減的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．若a₃•a₅=63，a₂+a₆=16，
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）當(dāng)n為多少時(shí)，S_n取最大值，并求其最大值．
（3）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer 1

分析：（1）a₂+a₆=a₃+a₅=16，由此可把a(bǔ)₃與a₅看作方程x²-16x+63=0的兩根，解出a₃與a₅，根據(jù)通項(xiàng)公式可得公差及首項(xiàng)；
（2）由遞減等差數(shù)列性質(zhì)可知，要使S_n取最大值，則有a_n≥0，a_n+1≤0，解出n，即可求得正整數(shù)n值；
（3）分①當(dāng)n≤12時(shí)，②當(dāng)n＞12時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求得答案；

解答：解：（1）a₂+a₆=a₃+a₅=16，又a₃•a₅=63，
所以a₃與a₅是方程x²-16x+63=0的兩根，
解得

a3=7 a5=9

或

a3=9 a5=7

，
又該等差數(shù)列遞減，所以

a3=9 a5=7

，
則公差d=

a5-a3

2

=-1，a₁=11，
所以a_n=11+（n-1）（-1）=12-n；
（2）由

an≥0 an+1≤0

，即

12-n≥0 11-n≤0

，解得11≤n≤12，
又n∈N^*，所以當(dāng)n=11或12時(shí)S_n取最大值，最大值為S₁₁=S12=12×11+

12×11

2

(-1)=66；
（3）由（2）知，當(dāng)n≤12時(shí)a_n≤0，當(dāng)n＞12時(shí)a_n＞0，
①當(dāng)n≤12時(shí)，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+a₃+…+a_n）
=-S_n=-

n(a1+an)

2

=-

n(11+12-n)

2

=

1

2

n2-

23

2

n；
②當(dāng)n＞12時(shí)，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+a₃+…+a₁₂）+（a₁₃+a₁₄+…+a_n）
=S_n-2S₁₂=

23

2

n-

1

2

n2-2×66=-

1

2

n2+

23

2

n-132；
所以|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=

1 2 n2- 23 2 n，n≤12 - 1 2 n2+ 23 2 n-132，n＞12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及數(shù)列求和，考查分類(lèi)討論思想，熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式是解決該類(lèi)問(wèn)題的基礎(chǔ)．