Question

已知集合A={x|（x-2）（x-3a-1）＜0}，y=lg

2a-x

x-(a2+1)

的定義域?yàn)榧�合B．
（1）若A=B，求實(shí)數(shù)a；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a使得A∩B=ϕ，若存在，則求出實(shí)數(shù)a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法,交集及其運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：（1）由集合B非空得出a≠1，對(duì)3a+1與2的大小比較，可分①當(dāng)a＞

1

3

且a≠1時(shí)，②當(dāng)a=

1

3

時(shí)，③當(dāng)a＜

1

3

時(shí)3種情況，利用A=B求得a的值；
（2）仍分第（1）問的三種情況，化簡(jiǎn)集合A，再由條件A∩B=φ求得a的范圍．

解答： 解：（1）由于函數(shù)的定義域是非空數(shù)集，故a≠1．
①當(dāng)a＞

1

3

且a≠1時(shí)，A=（2，3a+1），B=（2a，a²+1），由A=B可得：

2=2a 3a+1=a2+1

，
方程組無解；                                                    
②當(dāng)a=

1

3

時(shí)，A=φ，A=B不可能；                                    
③當(dāng)a＜

1

3

時(shí)，A=（3a+1，2），B=（2a，a²+1），由A=B可得：

3a+1=2a 2=a2+1

，
∴a=-1．
（2）①當(dāng)a＞

1

3

且a≠1時(shí)，A=（2，3a+1），B=（2a，a²+1），由A∩B=φ可得3a+1≤2a或a²+1≤2，
又a＞

1

3

且a≠1，則

1

3

＜a＜1；                 
②當(dāng)a=

1

3

時(shí)，A=φ，則A∩B=φ，符合題意；                         
③當(dāng)a＜

1

3

時(shí)，A=（3a+1，2），B=（2a，a²+1），由A∩B=φ可得2≤2a或a²+1≤3a+1，
又a＜

1

3

，則0≤a＜

1

3

．
∴當(dāng)a∈[0，1）時(shí)，A∩B=φ．．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的定義域的求法，同時(shí)考查集合與集合之間的關(guān)系，對(duì)于含有字母的函數(shù)定義域的求法，通常要討論．