Question

已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．

求證：a²＝b²＋c²－2bccosA，b²＝a²＋c²－2accosB，c²＝a²＋b²－2abcosC．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：如圖，作CD⊥AB，垂足為D，則CD＝bsinA． 　　因為AB＝c，AD＝bcosA，所以BD＝c－bcosA，所以在△BCD中，利用勾股定理有a2＝(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝b2＋c2－2bccosA． 　　同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 　　所以a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 　　點評：本證法是借助三角形的高完成的，“高”的使用頻率之所以這么高，這是因為“高”能產(chǎn)生直角三角形，進而通過三角函數(shù)把邊和角聯(lián)系起來，恰好契合所證明的式子． 　　證法二：如圖，以A為原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則可得A(0，0)，C(b，0)，B(ccosA，csinA)． 　　根據(jù)兩點間的距離公式，得 　　a＝BC＝， 　　即a2＝b2＋c2－2bccosA． 　　同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 　　所以a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 　　點評：本證法是坐標(biāo)法，這種方法是證明平面幾何問題的常用方法，它的優(yōu)點在于：(1)用坐標(biāo)(數(shù))表示，實現(xiàn)了幾何圖形數(shù)字化，從而不需再絞盡腦汁地研究復(fù)雜的圖形關(guān)系；(2)因為利用的是任意角三角函數(shù)的定義，所以無論角是銳角還是鈍角，點的坐標(biāo)都一樣，這是此證法的另一個優(yōu)點．

提示：

以銳角三角形為例來證明．