解:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201305/51d61dfa5f7fd.png)
(1)過D向平面β作垂線,垂足為O,連接OA并延長至E,
∵AB⊥AD,OA為DA在平面β內的射影,
∴AB⊥OA,∴∠DAE為二面角α-l-β的平面角 (2分)
∴∠DAE=120°,∠DAO=60°,
∵AD=AB=2,∴Rt△ADO中,DO=ADsin60°=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,
∵△ABC是等腰直角三角形,斜邊AB=2.
∴S
△ABC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×2×1=1,
又∵D到平面β的距離DO=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,
∴V
D-
ABC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
×S
△ABC×DO=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22.png)
.(4分)
(2)過O在β內作OM⊥AC于M,連接DM,則AC⊥DM,
∴∠DMO為二面角D-AC-B的平面角,(6分)
在△DOA中,OA=2cos60°=1,且∠OAM=∠CAE=45°,
∴Rt△OAM中,OM=OAsin45°=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
,
∴Rt△ODM中,tan∠DMO=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/319370.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/674.png)
,
因此,∠DMO=arctan
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/674.png)
,即二面角D-AC-B的大小為arctan
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/674.png)
.(8分)
(3)在β內過C作AB的平行線交AE于F,
∴∠DCF(或其補角)為異面直線AB、CD所成的角 (10分)
∵AB⊥AF,AB⊥AD,CF∥AB,
∴CF⊥DF,結合∠CAE=45°,得△ACF為等腰直角三角形,
又∵AF等于C到AB的距離,即為△ABC斜邊上的高,
∴AF=CF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
AB=1,
∴DF
2=AD
2+AF
2-2AD•AF•cos120°=7,得DF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4546.png)
在Rt△DCF中,tan∠DCF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/438260.png)
,得∠DCF=arctan
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4546.png)
,
即異面直線AB、CD所成的角為arctan
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4546.png)
.(12分)
分析:(1)過D作DO⊥β于點O,連接OA并延長至E,可證出∠DAE為二面角α-l-β的平面角,得∠DAO=180°-120°=60°.Rt△ADO中,算出DO=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,即為三棱錐D-ABC的高,最后算出△ABC的面積,再利用錐體體積公式即得三棱錐D-ABC體積;
(2)過O在β內作OM⊥AC于M,連接DM,則AC⊥DM,得∠DMO為二面角D-AC-B的平面角.然后在Rt△ODM中,算出OM的長.Rt△ODM中利用直角三角形中正切的定義,得tan∠DMO=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/674.png)
,即得二面角D-AC-B的大小為arctan
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/674.png)
;
(3)在β內過C作CE∥AB交AE于F,可得∠DCF(或其補角)為異面直線AB、CD所成的角.Rt△DCF中,算出CF、DF的長,從而得到tan∠DCF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/438260.png)
,即得異面直線AB、CD所成的角為arctan
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4546.png)
.
點評:本題給出120度的二面角和分別在兩個半平面的等腰直角三角形,求三棱錐的體積和異面直線所成角的大小,著重考查了二面角平面角的作法和異面直線所成角的求法等知識,考查了解三角形的知識,屬于中檔題.