在平面直角坐標系中,點為動點,、分別為橢圓的左、右焦點.已知為等腰三角形.

(1)求橢圓的離心率;

(2)設直線與橢圓相交于、兩點,是直線上的點,滿足,求點的軌跡

方程.

 

【答案】

(1);(2).

【解析】

試題分析:(1)先利用平面向量的數(shù)量積確定為鈍角,從而得到當時,必有,根據(jù)兩點間的距離公式列有關、的方程,求出之間的等量關系,從而求出離心率的值;(2)先求出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立求出交點、的坐標,利用以及、三點共線列方程組消去,從而得出點的軌跡方程.

試題解析:(1)設橢圓的焦距為,則,,

,,

,所以為鈍角,

由于為等腰三角形,,,即,

,整理得,即

由于,故有,即橢圓的離心率為;

(2)易知點的坐標為,則直線的斜率為

故直線的方程為,由于,

故橢圓的方程為,即

將直線的方程代入橢圓方程并化簡得,解得,

于是得到點,,

(2)設點的坐標為,由于點在直線上,所以

,

,

,

,

整理得,即點的軌跡方程為.

考點:1.橢圓的方程;2.兩點間的距離;3.平面向量的數(shù)量積;4.動點的軌跡方程

 

練習冊系列答案
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在平面直角坐標系xOy中,以O為極點,x正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為:pcos(θ-
π3
)=1
,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點,則MN的中點P在平面直角坐標系中的坐標為
 

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在平面直角坐標系中,A(3,0)、B(0,3)、C(cosθ,sinθ),θ∈(
π
2
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)設α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

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在平面直角坐標系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(x,y)為整點,下列命題中正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號).
①存在這樣的直線,既不與坐標軸平行又不經過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù),則直線y=kx+b不經過任何整點
③直線l經過無窮多個整點,當且僅當l經過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經過無窮多個整點的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經過一個整點的直線.

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在平面直角坐標系中,下列函數(shù)圖象關于原點對稱的是(  )

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