Question

（本小題滿分12分）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．
（1）用表示，并求的最大值；
（2）求證：（）．

Answer 1

（1）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．
，，由題意，．
即由
得：，或（舍去）．        
即有．
令，則．于是
當(dāng)，即時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，．
故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
于是在的最大值為．（2）
設(shè)，
則．
故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
于是函數(shù)在上的最小值是．
故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，
19.經(jīng)檢驗(yàn),以上所得橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)無法取到,
故交點(diǎn)軌跡E的方程為
（2）設(shè)，則由知，.
將代入得，
即，
若與橢圓相切,則，即;
同理若與橢圓相切,則.
由與與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)包含以下四種情況:
[1]直線與都與橢圓相切,即,且,消去得，即，
從而，即;
[2]直線過點(diǎn),而與橢圓相切,此時(shí),解得;
[3]直線過點(diǎn),而與橢圓相切,此時(shí),解得;
[4] 直線過點(diǎn),而直線過點(diǎn),此時(shí)
綜上所述,h的值為

略