Question

已知在直角坐標系xOy中，角的始邊為x軸正半軸，已知α，β均為銳角，且角β和α+β的終邊與單位圓交點橫坐標分別為

4

5

和

5

13

．
（1）求tanβ的值；
（2）求角α終邊與單位圓交點的縱坐標．

Answer 1

分析：（1）由題意求出cosβ與cos（α+β）的值，由β為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinβ的值，再利用同角三角函數(shù)間的基本關系即可求出tanβ的值；
（2）角α終邊與單位圓交點的縱坐標即為sinα的值，由α+β的范圍及cos（α+β）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sin（α+β）的值，sinα=sin[（α+β）-β]，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：（1）由題意可得cosβ=

4

5

，cos（α+β）=

5

13

，
∵β∈（0，

π

2

），
∴sinβ=

1-cos2β

=

3

5

，
∴tanβ=

sinβ

cosβ

=

3

4

；
（2）∵0＜α+β＜π，
∴sin（α+β）=

1-cos2(α+β)

=

12

13

，
則sinα=sin[（α+β）-β]
=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ
=

12

13

×

4

5

-

5

13

×

3

5

=

33

65

，
則角α終邊與單位圓交點的縱坐標即為

33

65

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關系，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握公式是解本題的關鍵．