Question

已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓（a＞b＞0）的左，右焦點，若橢圓的右準線上存在一點P，使得線段PF₁的垂直平分線過點F₂，則離心率的范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：設點P（，m），則由中點公式可得線段PF₁的中點K的坐標，根據(jù) 線段PF₁的斜率與 KF2的斜率之積等于-1，求出 m² 的解析式，再利用 m²≥0，得到3e⁴+2e²-1≥0，求得 e 的范圍，再結合橢圓離心率的范圍進一步e 的范圍．
解答：解：由題意得  F1（-c，0）），F(xiàn)2 （c，0），設點P（，m），則由中點公式可得線段PF₁的中點
K（， ），∴線段PF₁的斜率與 KF₂的斜率之積等于-1，∴•=-1，
∴m²=-（+c）•（）≥0，∴a⁴-2a²c²-3 c⁴≤0，
∴3e⁴+2e²-1≥0，∴e²≥，或 e²≤-1（舍去），∴e≥．
又橢圓的離心力率  0＜e＜1，故  ≤e＜1，故答案為[，1）．
點評：本題考查線段的中點公式，兩直線垂直的性質，以及橢圓的簡單性質的應用，屬于中檔題．