已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為，且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4；，是過點且相互垂直的兩條直線，交橢圓E于，兩點，交橢圓E于，兩點，，的中點分別為，．

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）求直線的斜率的取值范圍；

（3）求證直線與直線的斜率乘積為定值．

 

【答案】

（1）．  （2）．  （3）

【解析】本試題主要是考出了橢圓方程的求解，已知直線與橢圓的位置關(guān)系的運用，求解直線的斜率問題，韋達定理的運用，以及判別式的綜合運用。

（1）結(jié)合橢圓的性質(zhì)，得到關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，進而得到結(jié)論。

（2）設(shè)出直線方程，直線與橢圓的方程聯(lián)立，得到關(guān)于未知數(shù)的一元二次方程，然后借助于韋達定理和判別式得到k的取值范圍。

（3）利用兩點式得到直線的斜率，借助于韋達定理求證其積為定值。

（1）設(shè)橢圓E的方程為，

由得所以所求橢圓E的標準方程為．  …… 4分

（2）由題意知，直線的斜率存在且不為零，由于，則，

由消去并化簡整理，得，  …… …… 6分

根據(jù)題意，，解得 ，同理可得，即，

∴有，解得．     …… 8分

（3）設(shè)，，，那么，

則 ，，即， 10分

同理可得，即，

∴ ，即直線與直線的斜率乘積為定值

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A(-2，0)，B(2，0)，C(1，
32
)三點
（1）求橢圓方程
（2）若此橢圓的左、右焦點F1、F2，過F1作直線L交橢圓于M、N兩點，使之構(gòu)成△MNF2證明：△MNF2的周長為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三點．
（1）求橢圓E的方程：
（2）若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當△DFH內(nèi)切圓的面積最大時．求內(nèi)切圓圓心的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•閔行區(qū)二模）已知橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過M(2，1)，N(2
2
，0)兩點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b（b＜0），直線l交橢圓E于兩個不同點A、B，直線MA與MB的斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2=0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當△DFH內(nèi)切圓的面積最大時，求內(nèi)切圓圓心的坐標；
（3）若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓E交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在定直線上并求該直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過M(2，1)、N(2
2
，0)兩點，P是E上的動點．
（1）求|OP|的最大值；
（2）若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b（b＜0），直線l交橢圓E于兩個不同點A、B，求證：直線MA與直線MB的傾斜角互補．

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