Question

【題目】設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?/span>Dn，記Dn內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個數(shù)為f(n)(n∈N*).

（1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表達(dá)式；

（2）設(shè)bn=2nf(n)，Sn為{bn}的前n項(xiàng)和，求Sn；

（3）記,若對于一切正整數(shù)n，總有Tn≤m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f(1)=3，f(2)=6，f(n)=3n（2）Sn=6+(3n－3)2n+1（3）

【解析】

試題分析：（1）由，可求得x=1，或x=2，則Dn內(nèi)的整點(diǎn)在直線x=1和x=2上，聯(lián)立可求得整點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得整點(diǎn)個數(shù)；（2）利用錯位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)的和；（3）先利用上面的結(jié)論求出的表達(dá)式，再對與的作商比較，從而求出中的最大值，即可找到滿足≤m時對應(yīng)的實(shí)數(shù)m的取值范圍

試題解析：（1）f(1)=3…

f(2)=6……

當(dāng)x=1時，y=2n，可取格點(diǎn)2n個；當(dāng)x=2時,y=n，可取格點(diǎn)n個

∴f(n)=3n

（2）由題意知:bn=3n·2n

Sn=3·21+6·22+9·23+…+3(n－1)·2n－1+3n·2n

∴2Sn=3·22+6·23+…+3(n－1)·2n+3n·2n+1

∴－Sn=3·21+3·22+3·23+…3·2n－3n·2n+1

=3（2+22+…+2n）－3n·2n+1

=3(2n+1－2)－3nn+1（7分）

∴－Sn=(3－3n)2n+1－6

Sn=6+(3n－3)2n+1

（3）Tn=………

∵…

當(dāng)n=1時>1

當(dāng)n=2時=1

當(dāng)n≥3時<1

∴T1<T2=T3>T4>…>Tn

故Tn的最大值是T2=T3=

∴m≥