Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求二面角A₁-BD₁-C₁的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面A₁BD₁的法向量和平面BD₁C₁的法向量，由此利用向量法能求出二面角A₁-BD₁-C₁的大�。�

解答： 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
則A₁（1，0，1），B（1，1，0），D₁（0，0，1），
C₁（0，1，1），

BD1

=（-1，-1，1），

BA1

=（0，-1，1），

BC1

=（-1，0，-），
設(shè)平面A₁BD₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BA1 =-y+z=0 n • BD1 =-x-y+z=0

，取y=1，得

n

=（0，1，1），
設(shè)平面BD₁C₁的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • BD1 =-a-b+c=0 m • BC1 =-a-c=0

，取a=1，得

m

=（1，-2，-1），
設(shè)二面角A₁-BD₁-C₁的平面角為θ，
cosθ=cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

-3

2 × 6

=-

3

2

，
∴θ=150°．
∴二面角A₁-BD₁-C₁的大小為150°．

點評：本題主要考查直線與平面、平面與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，考查二面角的概念、求法等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，是中檔題．