Question

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，，是棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）存在，且.

試題分析：（1）先由底面為矩形得到，然后利用直線與平面平行的判定定理即可證明平面；（2）先證平面，于是得到，然后再利用三線合一得到，然后利用直線與平面垂直的判定定理即可得到平面；（3）利用（2）中的結(jié)論平面，結(jié)合條件平面平面，得到平面，連接交于點(diǎn)，利用直線與平面平行的性質(zhì)定理得到，最后利用相似三角形來(lái)求的值.
試題解析：（1）因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824042840033523.png" style="vertical-align:middle;" />是矩形，
所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824042840065472.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以平面；
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824042840174536.png" style="vertical-align:middle;" />，，，
所以平面，
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824042840236481.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824042839472528.png" style="vertical-align:middle;" />，且為中點(diǎn)，
所以.
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824042840330622.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以平面.
（3）如圖，連接交于點(diǎn)，在平面中過(guò)作交于點(diǎn)，連接、.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824042839597470.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以平面.
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824042840595419.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以平面平面.
在矩形中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824042840657606.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以.
在中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824042840720613.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以.
則在棱上存在點(diǎn)，使得平面平面，此時(shí).