Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)是軸下方（不含軸）一點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)、滿足，，其中為常數(shù)，且、兩點(diǎn)均在上，弦的中點(diǎn)為．

（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，時，求弦所在的直線方程；

（2）在（1）的條件下，如果過點(diǎn)的直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線也只有一個交點(diǎn)，求證：若和的斜率都存在，則與的交點(diǎn)在直線上；

（3）若直線交拋物線于點(diǎn)，求證：線段與的比為定值，并求出該定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）證明詳見解析，定值為．

【解析】

（1）設(shè)，，得到和，即得的坐標(biāo)，即得弦所在的直線方程；

（2）先求出，，再求出交點(diǎn)，即得證；

（3）先求出直線的方程為，得到，，即得線段與的比.

（1）設(shè)，，由，，

可得，，

由點(diǎn)在上可得：，化簡得：，同理可得：

，

∵、兩點(diǎn)不同，不妨設(shè)，，

∴弦所在的直線方程為．

（2）由（1）可知，，，設(shè)，

與聯(lián)立，并令，可得，同理的斜率，

∴，，

解方程組得交點(diǎn)，而直線的方程為，得證．

（3）設(shè)，，，由，得，

代入，化簡得：，

同理可得：，

顯然，∴、是方程的兩個不同的根，

∴，，

∴，即直線的方程為，

∵，，

∴，，

所以線段與的比為

∴線段與的比為定值．