【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ< )的部分圖象如圖所示;
(1)求ω,φ;
(2)將y=f(x)的圖象向左平移θ(θ>0)個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象,若y=g(x)圖象的一個對稱點為( ,0),求θ的最小值.
(3)對任意的x∈[ , ]時,方程f(x)=m有兩個不等根,求m的取值范圍.
【答案】
(1)解:根據(jù)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ< )的部分圖象,可得 = ,
求得ω=2.
再根據(jù)五點法作圖可得2 +φ= ,求得φ=﹣ ,∴f(x)=2sin(2x﹣ )
(2)解:將y=f(x)的圖象向左平移θ(θ>0)個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)=2sin[2(x+θ)﹣ ]=2sin(2x+2θ﹣ )的圖象,
∵y=g(x)圖象的一個對稱點為( ,0),∴2 +2θ﹣ =kπ,k∈Z,∴θ= ﹣ ,故θ的最小正值為
(3)解:對任意的x∈[ , ]時,2x﹣ ∈[ , ],sin(2x﹣ )∈[﹣ ,1],即f(x)∈[﹣ ,2],
∵方程f(x)=m有兩個不等根,結(jié)合函數(shù)f(x),x∈[ , ]時的圖象可得,1≤m<2.
【解析】(1)用五點法做函數(shù)y=Asin(ωx+φ)在一個周期上的簡圖.(2)利用y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的圖象的對稱性,求得θ的最小正值.(3)利用正弦函數(shù)的定義域和值域,結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象,求得m的取值范圍.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換(圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè){an}是一個公差不為零的等差數(shù)列,其前n項和為Sn , 已知S9=90,且a1 , a2 , a4成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中, ).
(Ⅰ)當(dāng)時,若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)的圖象在兩點、處的切線分別為、,若, ,且,求實數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了培養(yǎng)學(xué)生的安全意識,某中學(xué)舉行了一次安全自救的知識競賽活動,共有800 名學(xué)生參加了這次競賽.為了解本次競賽的成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù),滿分為100 分)進行統(tǒng)計,得到如下的頻率分布表,請你根據(jù)頻率分布表解答下列問題:
序號 | 分組 | 組中值 | 頻數(shù) | 頻率 |
1 | [60,70) | 65 | ① | 0.10 |
2 | [70,80) | 75 | 20 | ② |
3 | [80,90) | 85 | ③ | 0.20 |
4 | [90,100) | 95 | ④ | ⑤ |
合計 | 50 | 1 |
(1)求出頻率分布表中①、②、③、④、⑤的值;
(2)為鼓勵更多的學(xué)生了解“安全自救”知識,成績不低于85分的學(xué)生能獲獎,請估計在參加的800名學(xué)生中大約有多少名學(xué)生獲獎?
(3)在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中,有一項指標(biāo)計算的程序框圖如圖所示,則該程序的功能是什么?求輸出的S的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)
如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD, E是PD的中點.
(1)證明:直線 平面PAB
(2)點M在棱PC 上,且直線BM與底面ABCD所成銳角為 ,求二面角M-AB-D的余弦值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= cosx(sinx+cosx). (Ⅰ)若0<α< ,且sinα= ,求f(α)的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拖延癥總是表現(xiàn)在各種小事上,但日積月累,特別影響個人發(fā)展.某校的一個社會實踐調(diào)查小組,在對該校學(xué)生進行“是否有明顯拖延癥”的調(diào)查中,隨機發(fā)放了110份問卷.對收回的100份有效問卷進行統(tǒng)計,得到如下列聯(lián)表:
有明顯拖延癥 | 無明顯拖延癥 | 合計 | |
男 | 35 | 25 | 60 |
女 | 30 | 10 | 40 |
合計 | 65 | 35 | 100 |
(Ⅰ)按女生是否有明顯拖延癥進行分層,已經(jīng)從40份女生問卷中抽取了8份問卷,現(xiàn)從這8份問卷中再隨機抽取3份,并記其中無明顯拖延癥的問卷的份數(shù)為,試求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)若在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為無明顯拖延癥與性別有關(guān),那么根據(jù)臨界值表,最精確的的值應(yīng)為多少?請說明理由.
附:獨立性檢驗統(tǒng)計量,其中.
獨立性檢驗臨界值表:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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