已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=-bx,其中a,b,c滿足a>b>c,a+b+c=0
(a,b,c∈R且a≠0).
(1)求證:兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A,B;
(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1之長(zhǎng)的取值范圍.
思路 本題只須將函數(shù)圖象交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程解的問題即可. 解答 (1)聯(lián)立 得ax2+bx+c=0.① Δ=4(b2-ac)=4[(a+c)2-ac]=4(a2+ac+c2) =4[(c+)2+a2], 又∵a≠0,∴Δ>0, 故兩函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn). (2)設(shè)①的兩個(gè)根為x1,x2,由韋達(dá)定理得 x1+x2=-,x1x2=, ∴|A1B1|2=|x2-x1|2==4[(+)2+]. ∵a>b>c,a+b+c=0, ∴a>-a-c>c,3a>a+b+c=0, 即2a>-c,-a>2c,a>0,∴∈(-2,-). 此時(shí)|A1B1|2為∈(-2,-)上的減函數(shù),從而|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|的范圍是(,2). 評(píng)析 此題涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象,一元二次方程,解不等式,一元二次函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍等多個(gè)知識(shí)點(diǎn).由于二次函數(shù)問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心問題之一,是考查學(xué)生邏輯思維能力的重要題材,也是高考的熱點(diǎn)問題,因此要熟練掌握二次函數(shù)(圖象)與方程、不等式的相互聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
bx-1 | a2x+2b |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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