已知橢圓：的離心率為且與雙曲線：有共同焦點.
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點作的切線，求與坐標軸圍成的三角形的面積的最小值；
（3）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為，過橢圓上的一點作軸的垂線交軸于點，若點滿足，，連結(jié)交于點，求證：.

（1）；（2）2；（3）證明詳見解析.

解析試題分析：（1）有離心率，求得 (s)，由公共焦點得即 (t),解由（s）（t）組成的方程組即可.
（2）設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程中，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，其判別式等于零，可得,在求出直線l與坐標軸的交點，寫出圍成的三角形的面積，再把代入，即可最的最小值.
（3），設(shè)，，求出的坐標，由向量平行的充要條件可得，在求出直線AC的方程，整理得，然后求出P點坐標即可.
試題解析：（1）由可得：即
①         2分
又即②聯(lián)立①②解得：
橢圓的方程為：        3分
（2）與橢圓相切于第一象限內(nèi)的一點，直線的斜率必存在且為負
設(shè)直線的方程為：
聯(lián)立消去整理可得：
③，      4分
根據(jù)題意可得方程③只有一實根，
整理可得：④      6分
直線與兩坐標軸的交點分別為且      7分
與坐標軸圍成的三角形的面積⑤，      8分
④代入⑤可得：（當且僅當時取等號）    9分
（3）由（1）得，設(shè)，
，可設(shè)，
由可得：即    11分
直線的方程為：整理得：
點在上，令代入直線的方程可得：，    13分
即點的坐標為為

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓過點，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求過點且斜率為的直線被橢圓所截得線段的中點坐標.

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拋物線，其準線方程為，過準線與軸的交點做直線交拋物線于兩點.
（1）若點為中點，求直線的方程；
（2）設(shè)拋物線的焦點為，當時，求的面積．

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已知橢圓：（）過點，且橢圓的離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若動點在直線上，過作直線交橢圓于兩點，且為線段中點，再過作直線.證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

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已知橢圓上的點到其兩焦點距離之和為，且過點．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）為坐標原點，斜率為的直線過橢圓的右焦點，且與橢圓交于點，，若，求△的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知兩點，直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為.
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標為1，直線PE、PF與圓（）相切于點E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值（其中點O為坐標原點）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知點及直線，曲線是滿足下列兩個條件的動點的軌跡：①其中是到直線的距離；②
(1) 求曲線的方程;
(2) 若存在直線與曲線、橢圓均相切于同一點，求橢圓離心率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個焦點為，過點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為；為橢圓上的四個點。
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若，且，求四邊形的面積的最大值和最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點，
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線與橢圓及雙曲線都恒有兩個不同的交點，且與的兩個交點A和B滿足（其中0為原點），求k的取值范圍。

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