Question

已知拋物線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(

1

2

，0)，其準(zhǔn)線方程為x=-

1

2

（1）寫出拋物線C的方程；
（2）過F點(diǎn)的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB重心G的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(

1

2

，0)，其準(zhǔn)線方程為x=-

1

2

，可得拋物線C的方程為y²=2x；
（2）①當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)方程為y=k（x-

1

2

），代入y²=2x，得k²x²-x（k²+2）+

k

4

=0．設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理，及三角形的重心坐標(biāo)公式，即可求出△AOB重心G的軌跡方程；②當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，A、B的坐標(biāo)分別為（

1

2

，1）和（

1

2

，-1），△AOB的重心G（

1

3

，0），也適合y²=

2

3

x-

2

9

，故可得軌跡C的方程．

解答：解：（1）∵拋物線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(

1

2

，0)，其準(zhǔn)線方程為x=-

1

2

∴拋物線C的方程為y²=2x；
（2）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，0），
①當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)方程為y=k（x-

1

2

），代入y²=2x，
得k²x²-x（k²+2）+

k

4

=0．
設(shè)l方程與拋物線相交于兩點(diǎn)，∴k≠0．設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
根據(jù)韋達(dá)定理，有x₁+x₂=

k+2

k

，從而y₁+y₂=k（x₁+x₂-1）=

2

k

．
設(shè)△AOB的重心為G（x，y），則x=

0+x1+x2

3

=

k2+2

3k

，y=

0+y1+y2

3

=

2

3k

，
∴y²=

2

3

x-

2

9

．
②當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，A、B的坐標(biāo)分別為（

1

2

，1）和（

1

2

，-1），△AOB的重心G（

1

3

，0），也適合y²=

2

3

x-

2

9

，
因此所求軌跡C的方程為y²=

2

3

x-

2

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查拋物線的方程，考查拋物線的性質(zhì)，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解決．