Question

已知實(shí)數(shù)a＞0，b＞0，對(duì)于定義在R上的函數(shù)f（x），有下述命題：
①“f（x）是奇函數(shù)”的充要條件是“函數(shù)f（x-a）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（a，0）對(duì)稱”；
②“f（x）是偶函數(shù)”的充要條件是“函數(shù)f（x-a）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱”；
③“2a是f（x）的一個(gè)周期”的充要條件是“對(duì)任意的x∈R，都有f（x-a）=-f（x）”；
④“函數(shù)y=f（x-a）與y=f（b-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”的充要條件是“a=b”
其中正確命題的序號(hào)是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、①④
• D、③④

Answer 1

分析：①根據(jù)奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．②根據(jù)偶函數(shù)的定義的定義進(jìn)行判斷．③根據(jù)函數(shù)周期性的定義進(jìn)行判斷．④根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)的定義進(jìn)行判斷．

解答：解：①若“函數(shù)f（x-a）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（a，0）對(duì)稱”，將f（x-a）向左平移a個(gè)單位得到f（x）的圖象，此時(shí)關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，∴①正確．
②若“函數(shù)f（x-a）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱”，將f（x-a）向左平移a個(gè)單位得到f（x）的圖象，此時(shí)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=0，即y軸對(duì)稱，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴②正確．
③若函數(shù)f（x）為常數(shù)函數(shù)不妨設(shè)f（x）=2，若a＞0，則2a是f（x）的一個(gè)周期，但f（x-a）=2，-f（x）=-2，∴f（x-a）=-f（x）不成立，∴③錯(cuò)誤．
④若函數(shù)y=f（x-a）=0，y=f（b-x）=0，則y=f（x-a）與y=f（b-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，但a與b不一定相等，∴④錯(cuò)誤．
其中正確命題的序號(hào)是①②．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和周期性的判斷，利用函數(shù)奇偶性和周期性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．