Question

函數(shù)f（x）=|x|（|x-1|-|x+1|）是（ ）
A．是奇函數(shù)又是減函數(shù)
B．是奇函數(shù)但不是減函數(shù)
C．是減函數(shù)但不是奇函數(shù)
D．不是奇函數(shù)也不是減函數(shù)

Answer 1

【答案】分析：首先由奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足f（-x）=-f（x），可判函數(shù)f（x）=|x|（|x-1|-|x+1|）是奇函數(shù)；
然后利用分類討論的方法去絕對值符號，由于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且對稱兩側(cè)的單調(diào)性相同，所以只需討論0≤x≤1與x＞1時即可；最后根據(jù)化簡后的分段函數(shù)畫出其圖象，則f（x）的單調(diào)性一目了然．
解答：解：因為函數(shù)f（x）=的定義域關(guān)于原點對稱，
且f（-x）=|-x|（|-x-1|-|-x+1|）=|x|（|x+1|-|x-1|）=-f（x），
所以f（x）是奇函數(shù)．
又因為當0≤x≤1時，f（x）=x（-x+1-x-1）=-2x²；
當x＞1時，f（x）=x（x-1-x-1）=-2x，
所以f（x）的圖象如圖：
所以f（x）既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)．
故選A．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性定義及它的圖象性質(zhì)，同時考查數(shù)形結(jié)合的方法研究函數(shù)的單調(diào)性．