設函數(shù)（a，b∈R，a＞0）的定義域為R，當x=x1時，取得極大值；當x=x2時取得極小值，|x1|＜2且|x1-x2|=4．
（1）求證：x1x2＞0；
（2）求證：（b-1）2=16a2+4a；
（3）求實數(shù)b的取值范圍．
【答案】分析：（1）利用導數(shù)的性質，轉換成二次函數(shù)的形式即可．
（2）利用（1）的二次函數(shù)，通過韋達定理，求出x1+x2=．進而證明題設
（3）分0＜x＜2和-2＜x＜0兩種情況，最后取并集．
解答：（1）證明：f′（x）=ax2+（b-1）x+1，
由題意，f′（x）=ax2+（b-1）x+1=0的兩根為x1，x2
∴．
（2）
∴（b-1）2=16a2+4a．
（3）①若0＜x1＜2，則
∴4a+1＜2（1-b），從而（4a+1）2＜4（1-b）2=4（16a2+4a）
解得或（舍）
∴，得．
②若-2＜x1＜0，則
∴4a+1＜2（b-1），從而（4a+1）2＜4（1-b）2=4（16a2+4a）
解得或（舍）
∴，∴
綜上可得，b的取值范圍是
點評：本題主要考查導數(shù)、函數(shù)、不等式等基礎知識，綜合分析問題和解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•杭州二模）設定義在區(qū)間（-b，b）上的函數(shù)f(x)=lg
1+ax
1-2x
是奇函數(shù)（a，b∈R，且a≠-2），則ab的取值范圍是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設定義在區(qū)間（-b，b）上的函數(shù)f(x)=lg
1+ax
1-2x
是奇函數(shù)（a，b∈R，且a≠-2），則ab的取值范圍是
(1，
2
]
(1，
2
]
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）在（-∞，+∞）為減函數(shù)，a，b∈R且a+b≤0，則下列選項正確的是（　　）
A、f（a）+f（b）≤-[f（a）+f（b）]B、f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）C、f（a）+f（b）≥-[f（a）+f（b）]D、f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)數(shù)學公式（a，b∈R，a＞0）的定義域為R，當x=x1時，取得極大值；當x=x2時取得極小值，|x1|＜2且|x1-x2|=4．
（1）求證：x1x2＞0；
（2）求證：（b-1）2=16a2+4a；
（3）求實數(shù)b的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案