Question

記（1+）（1+）…（1+）的展開式中，x的系數(shù)為a_n，x²的系數(shù)為b_n，其中 n∈N^*．
（1）求a_n；
（2）是否存在常數(shù)p，q（p＜q），使b_n=（1+）（1+） 對(duì)n∈N*，n≥2恒成立？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，可得a_n=++…+，利用等比數(shù)列的求和公式，可得結(jié)論；
（2）先計(jì)算b₂，b₃的值，代入b_n=（1+）（1+），解得p=-2，q=-1，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解答：解：（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，得a_n=++…+=1-．…（3分）
（2）計(jì)算得b₂=，b₃=．
代入b_n=（1+）（1+），解得p=-2，q=-1． …（6分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明b_n=（1-）（1-）=-+× （n≥2）：
①當(dāng)n=2時(shí)，b₂=，結(jié)論成立．
②設(shè)n=k時(shí)成立，即b_k=-+×．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，b_k+1=b_k+=-+×+-=-+×．
由①②可得結(jié)論成立．                 …（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查展開式的系數(shù)，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．