Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，且側(cè)棱PA⊥底面ABCD．

(1)當(dāng)a為何值時，BD⊥平面PAC？試證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)a＝4時，求證：BC邊上存在一點M，使得PM⊥DM．

Answer 1

答案：
解析：

分析：本題第(1)問是尋求BD⊥平面PAC的條件，即BD需垂直平面PAC內(nèi)的兩條相交直線．易知BD⊥PA，于是問題歸結(jié)為當(dāng)a為何值時，BD⊥AC，從而知矩形ABCD為正方形． 　　(1)解：當(dāng)a＝2時，四邊形ABCD為正方形，則BD⊥AC． 　　因為PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD， 　　所以BD⊥PA． 　　又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC． 　　故當(dāng)a＝2時，BD⊥平面PAC． 　　(2)證明：當(dāng)a＝4時，取BC的中點M，AD的中點N，連接AM，DM，MN． 　　因為四邊形ABMN和四邊形DCMN都是正方形， 　　所以∠AMD＝∠AMN＋∠DMN＝45°＋45°＝90°， 　　即DM⊥AM． 　　因為PA⊥平面ABCD，DM平面ABCD， 　　所以PA⊥DM． 　　又AM∩PA＝A，所以DM⊥平面PAM． 　　又PM平面PAM，所以PM⊥DM． 　　故當(dāng)a＝4時，取BC的中點M，可使得PM⊥DM． 　　點評：在解立體幾何問題時，要注意有關(guān)平面幾何知識的運用．事實上，通過轉(zhuǎn)化，立體幾何問題最終還是在一個或幾個平面中得以解決的．