已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3,其中a為實(shí)數(shù).
(1)設(shè)t>0為常數(shù),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上的最小值;
(2)若對(duì)一切x∈(0,+∞),不等式2f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(1)f'(x)=lnx+1,
當(dāng)
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單調(diào)遞減,當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/46311.png)
單調(diào)遞增
①
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33015.png)
,沒有最小值;
②
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33016.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33017.png)
時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33018.png)
;
③
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33019.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33020.png)
時(shí),f(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞增,f(x)
min=f(t)=tlnt;(5分)
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/68383.png)
(2)由已知,
2xlnx≥-x
2+ax-3,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/72141.png)
,
設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/72142.png)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/72143.png)
,
①x∈(0,1),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
②x∈(1,+∞),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
所以h(x)
min=h(1)=4,對(duì)一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,
所以a≤h(x)
min=4;
分析:(1)求出f'(x)=lnx+1,利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,分類求解
(2))由已知,2xlnx≥-x
2+ax-3,分離參數(shù),則
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,構(gòu)造
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通過研究h(x)的最值確定a的范圍.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用,求最值.以及構(gòu)造、分類、參數(shù)分離的解題方法.