Question

已知x∈R，求f（x）=sin²x+1+

5

sin2x+1

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題可以先通過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)，求出相應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值，即本題答案．

解答： 解：設(shè)t=sin²x+1，（1≤t≤2）．
g(t)=t+

5

t

，
∴g′(t)=1-

5

t2

=

(t+ 5 )(t- 5 )

t2

，
∵1≤t≤2，
∴g′（t）＜0．
∴g（t）在[1，2]上單調(diào)遞減．
∴[g(t)]min=g(2)=

9

2

．
∴f（x）=sin²x+1+

5

sin2x+1

的最小值為

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，要注意的是如果本題運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，不具備取等號(hào)的條件．本題難度不大，屬于中檔題．