【題目】平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點.

（i）求的值；

（ⅱ）求面積的最大值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）2；（ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）根據(jù)橢圓的定義與幾何性質(zhì)列方程組確定的值，從而得到橢圓的方程；（Ⅱ）（i）設(shè)，，由題意知，然后利用這兩點分別在兩上橢圓上確定的值; （ⅱ）設(shè)，利用方程組結(jié)合韋達定理求出弦長，選將的面積表示成關(guān)于的表達式，然后，令，利用一元二次方程根的判別式確定的范圍，從而求出的面積的最大值，并結(jié)合（i）的結(jié)果求出面積的最大值.

試題解析：（Ⅰ）由題意知，則,又可得,

所以橢圓C的標準方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓E的方程為,

（i）設(shè)，，由題意知因為,

又，即,所以，即.

（ⅱ）設(shè)

將代入橢圓E的方程，

可得

由，可得①

則有

所以

因為直線與軸交點的坐標為

所以的面積

令,將代入橢圓C的方程可得

由，可得②

由①②可知

因此,故

當且僅當，即時取得最大值

由（i）知，面積為,所以面積的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】空間四邊形ABCD的對棱AD，BC成60°的角，且AD＝a，BC＝b，平行于AD與BC的截面分別交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H，則截面EFGH面積的最大值為_____.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面為菱形，且，平面平面，、分別是、的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）求與平面所成角的大小.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a是實數(shù)，函數(shù)．

（1）若，求a的值及曲線在點處的切線方程；

（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知三棱錐（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：

（I）證明：平面平面；

（Ⅱ）若點在棱上運動，當直線與平面所成的角最大時，求二面角的余弦值.

圖一

圖二

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個零點，求 的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓 (a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B. 已知橢圓的離心率為，點A的坐標為，且.

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)直線l： 與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q. 若 (O為原點) ，求k的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校為擔(dān)任班主任的教師辦理手機語音月卡套餐，為了解通話時長，采用隨機抽樣的方法，得到該校100位班主任每人的月平均通話時長（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示，將頻率視為概率.

（1）求圖中的值；

（2）估計該校擔(dān)任班主任的教師月平均通話時長的中位數(shù)；

（3）在，這兩組中采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求抽取的2人恰在同一組的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若存在實數(shù)使得則稱是區(qū)間的一內(nèi)點．

（1）求證：的充要條件是存在使得是區(qū)間的一內(nèi)點；

（2）若實數(shù)滿足：求證：存在，使得是區(qū)間的一內(nèi)點；

（3）給定實數(shù)，若對于任意區(qū)間，是區(qū)間的一內(nèi)點，是區(qū)間的一內(nèi)點，且不等式和不等式對于任意都恒成立，求證：

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案